Елементен теория вероятност
Теория на вероятностите изучава законите, които възникват при случайни експерименти. Случаен експеримент се нарича, което е невъзможно да се предскаже резултата предварително. Неспособността да се предскаже резултатите се различават от детерминирана случаен феномен.
Не всички случайни събития (експерименти) могат да бъдат изследвани по методите на теорията на вероятностите, но само тези, които могат да бъдат възпроизведени в едни и същи условия. Случайност и хаос # 151; Не едно и също нещо. Оказва се, че в произволни експерименти има някои закони, като например собственост "статистическа устойчивост". ако # 151; някои събитие, което може или не може да възникне в резултат на експеримента, делът на експерименти, при които са настъпили случай, има тенденция да се стабилизира с увеличаване на общия брой на експериментални подходи определен брой. Този номер е обективна характеристика "степента на възможност" събитие, за да се случи.
Имайте предвид, че ние правим по математика, и не се занимават с реалността, но само с математически модел. Ние ще учат само математическите модели и приложението им към реалността ляво на математическите и практически статистика.
Определяне 1.Prostranstvom елементарни събития ( "Омега") е набор, съдържащ всички възможни резултати от случаен експеримент, в експеримента, за което има точно един. Елементите на този набор, се нарича основно събитията и обозначени с буквата ( "Омега").
Определяне 2.Sobytiyami ние наричаме подгрупи. Тя се казва, че в резултат на експеримента е имало случай, ако е имало един експеримент на елементарни резултати са включени в комплекта.
Забележка 2. Най-общо казано, това е възможно да се назоват събитията не са непременно всички подгрупи, но само определен набор от елементи на подгрупи. На смисъла на това ограничение, ще говорим по-късно.
Пример 1. Един път се изхвърля зарове # 151; зара. Помислете за пространството на елементарните събития, елементарни резултати тук представлява броят на отпадналите точки.
Примери за събития: # 151; пусна една или две точки; # 151; Той падна на нечетен брой точки.
Пример 2: Два пъти зарове се изхвърля. Или това, което е едно и също нещо, след като хвърлен в двата зара. Предполагаме пространство елементарните събития множество двойки числа, където (sotvetstvenno,) е броя на точките, които са попаднали на първия (втори) хвърля :.
Примери за събития:
# 151; първото хвърляне пусна една точка;
# 151; Окачен на втория хвърляне една точка;
# 151; на костите се отказа от еднакъв брой точки;
# 151; падна на двата зара е нечетен брой точки.
Пример 3. В монетата удря повърхността на масата. Резултатът от експеримента може да се разглежда като координира центъра на монетата. Пространството на елементарни резултати # 151; много точки на маса. Ако не сме безразлични към ъгъла на завъртане на монетата е, че е възможно да добавите към зададената позиция на стойността на този ъгъл център. В този случай, има много двойки, където е # 151; маса и точка # 151; въртене ъгъл. Броят на елементарните резултати от такъв експеримент несметен.
Пример 4 монетата се изхвърля, докато, докато навити гребен. Резултат пространство се състои от една безкрайна, но бройна брой резултати: където р е загуба опашки и R # 151; Герб на едно хвърляне на чоп.
1. Точност се нарича събитие, което е задължително да се появят в резултат на експеримента, т.е. единственото събитие, което включва всички елементарни резултати # 151; събитие.
2. Невъзможно наречен събитие, което може да възникне в резултат на експеримента, т.е. събитие, която не съдържа елементарен изход ( "празен набор"). Имайте предвид, че винаги.
В теорията на вероятностите, има точно същите операции на различни групи в теория на множествата.
1. Асоциация на събития и призова случай, състояща се в това, че е имало такива, едната или двете събития по едно и също време. На езика на теория на множествата е набор, съдържащ двете елементарни резултати от многото и елементарни резултатите от комплекта.
2. пресечната точка на събитията се нарича събитие, състоящ се в това, че двете събития, настъпили едновременно. там е набор, съдържащ основните резултати на езика на теория на множествата, членове на комплекти и кръстовище.
3. обратното (или допълнителна) на събитието се нарича случай, състоящ се в това, че в случай, в резултат на експеримента не се случи. Т.е. комплект се състои от елементарни събития извън.
4. Доплащане за събитието се нарича събитието, състояща се в това, че е настъпило събитие, но не се случи. Т.е. комплект съдържа елементарни резултати, включени в комплекта, но не и в.
1. Събития и наричат несъвместими. ако.
2. събития се наричат взаимно несъвместими. ако има такива, където събития и непоследователна.
3. Тя се казва, че събитието привлича събитие и пишат, ако някога, веднага след като се случи дадено събитие и събитието. На езика на теория на множествата, това означава, че всеки елементарен изход, включени в комплекта, и двете включени в комплекта, т.е. се съдържа вътре.
елементарните събития пространство ще се нарича дискретна. ако това е краен или изброимо:
По този начин, експериментите на Примери 1. 2 и 4 (но не и 3) водят до отделни пространства елементарни събития.
Множество бройна. ако съществува едно към едно съответствие между множеството и множеството на всички естествени числа. Своевременно се използва комплекта са, например, множеството на естествените числа, множеството от цели числа, множеството от рационални числа, множеството от четни числа и т.н. Множество Разбира се, ако тя се състои от определен брой елементи.
За да се определи вероятността за всяко събитие в дискретно пространство на елементарните събития, просто зададете вероятността за всеки елементарен изход. Тогава вероятността за всеки случай се определя като сума от вероятностите на елементарните събития, настъпили в него.
Дефиниция 6. Ние поставяме всеки елементарен изход в съответствие номер, така че
Ние наричаме броят на елементарни вероятност резултат. вероятност на събитието ще се обадите на номера
равна на сумата от вероятностите на елементарните събития, включени в комплекта. Ако сме задали.
Забележка 4. По-късно, след като се запознаят с аксиоми теорията на вероятностите, ние определяме вероятността от самото събитие, а не от гледна точка на вероятността за елементарни събития. Освен това, че чрез добавяне на вероятността на събитието може да бъде получена елементарни вероятности резултати, състояща се от не повече от броимо брой елементарни събития (в противен случай самата концепция за сумиране не е определено). Но в дискретно пространство на елементарните резултати за определяне на вероятностите за събитията по такъв начин, както се прави в определението за 6. винаги е възможно.
Посочваме очевидното в случая на свойствата на дискретни вероятност пространство, което скоро ще се окаже прав като цяло.
2. Ако са несъвместими, след това;
3. В общия случай;
Упражнение 8. Докажете свойства 1 # 151; 4, 6, използвайки дефиницията.
Помислете за конкретния случай с тази вероятност # 151; така наречените "класическа вероятност."
Да приемем, че си имаме работа с пространството на елементарните събития, състоящ се от краен брой елементи :. Да приемем, че от всички причини, можем да считаме, елементарни еднакво възможни резултати. Тогава вероятността някой от тях е равен. Тези съображения не са свързани с математически модел, а на базата на някаква симетрия в експеримента (симетричен монетата, разбъркайте добре тесте карти, правилният кост).
Ако събитието се състои от елементарни събития, вероятността за това събитие е съотношението на:
където символът означава броя на елементите на крайно множество.
Определение 7. Ние казваме, че експериментът отговаря на класическото определение за вероятност. ако пространството на елементарните събития се състои от краен брой еднакво възможни резултати. В този случай, вероятността за всеки случай се изчислява съгласно формулата
наречен класическата дефиниция на вероятностите.
Формулата е: "Вероятността за събитие е съотношението на броя на резултатите благоприятни за случай, общият брой на резултати." Полезно е да я сравни с класическото определение на фразата Якоб Бернули (1). "Вероятността е степента на надеждност и се различава от това, като част от цялото» (Ars Conjectandi, 1713)
Сега виждаме, че изчисляването на вероятностите в класическата схема се свежда до влиза Изчислете общия брой на "шансовете", а броят на шансовете благоприятни за събитие. Броят на шансове да обмисли възможността за използване комбинаторика формули.
Помислете, описан в параграф 1 схема урна. Три схеми: Завръщането и с оглед на реда, и без да се отчита връщане на поръчката, както и без замяна и без оглед на ред, отговаря на класическото определение за вероятност. Общият брой на елементарните събития в тези схеми се изчислява в теореми 3 и 4. 2. равен, съответно ,. Четвъртият Схемата е # 151; избиране на връщане верига и без оглед на реда # 151; Той има очевидно neravnovozmozhnye резултати.
Пример 5 Нека разгледаме избор от два топки от двете, или това, което е същото, два пъти флип монета. Като се има предвид реда, тогава резултатът ще бъде четири, и всички те са еднакво възможни, т.е. има вероятност от 1/4:
Ако поръчката не се вземат под внимание, е необходимо да обявим резултатите от последните две със същия резултат на експеримента, и да не се четири, но три резултата:
Първите две резултати имат вероятност 1/4, а последният # 151; вероятност 1/4 + 1/4 = 1/2.
Упражняване 9. Изчислява се броят на елементарните събития в Пример 2 (за хвърлят два зара). Как ще пространството на елементарните събития, ако поръчката не се вземат под внимание на костите? Преброяване на броя на елементарните събития в такова пространство (използвайки теорема 5 или чрез директно броене). Уверете се, че точно те. дали тези резултати са еднакво склонни? Изчислява вероятността за всеки.
Пример 6. От кутии, в които бели и черни топки произволно и отстранени без подмяна на топки. Терминът "случаен" означава, че при появата на всяка топки еднакво вероятни. Намерете вероятността, че там ще бъдат избрани бели и черни топки.
Решение. Или, когато се изисква вероятността е нула, тъй като съответното събитие невъзможно. Да.
Резултатът от експеримента е набор от топки. Вие не можете да игнорирате или да вземе предвид реда на топките, вероятността не зависи от метода на изчисление.
Избор без оглед по поръчка. Общият брой на елементарните събития е броят на елемент в подгрупи на набор се състои от елементи: (теорема 3).
Означаваме с случай, вероятността, че искате да намерите. Това благоприятства появата на всеки набор събитие съдържащ бели и черни топки. Броят на успех е равна на произведението на (от теорема 1) редица начини, за да изберете бели топки и броя на методи за избор от черни топки, т.е. , вероятност събитие
Избор от гледна точка на поръчката. Общият брой на елементарните събития е броят на начини да се поставят елементите на земята Теорема 2.
Когато отчитане на броя на благоприятните резултати е необходимо да се помисли за няколко начина за избор на черни и бели топки, а броят на начини да се организират тези топки сред. Можете, например, да отчита броя на начини за избор на места, сред (равен), след това броят на начини за пускане на тези места бели топки (равняващи се), а след това броят на начини за пускане на останалите области на черни топки (равен). Като умножим (защо?) Тези числа, получаваме
В задачата се счита, ние сравнение на всеки набор от бели и черни топки вероятност за получаване на този комплект при избора на топки от урна, съдържаща бели и черни топки.
8. Определяне на кореспонденция между броя и вероятността
(Къде е това, ф) се нарича хипергеометричното разпределение.
Тук ние сме в първата, но не и за последен път се срещна с термина "разпределението" на вероятността. Тази дума винаги означава по определен начин, за да споделят (разпространение) общата вероятност на идентичност между всички точки или набори върху реалната линия.
хипергеометричното единица разпространение вероятно разпределена между подходящи числа равномерно. Всяка число е съответна вероятност. На реалната линия може да бъде единична вероятност за разпространение по различни начини. Това разпределение е различно от един на друг: фактът, на която набор числа "определени" обща вероятност за самоличност, и в която тежести или вероятности, възложени на отделни точки или части от комплекта.
Упражнение 10. За да се разбере последния параграф.