Ние решаваме проблеми B14 на ПТ

Предишен ◈ Следващото

В зависимост от периода, в който да се намери максималната или минималната стойност на функцията за решаването на този проблем с помощта на един от следните стандартни алгоритми.







I. Алгоритъмът за намиране нарастване или намаляване на стойностите на интервала:

  • Намерете областта на функцията.
  • Намерете функцията производно.
  • За да се определи точката на подозрителен екстремум (точките, в които производното става нула и точката, в която не е двустранно ограничен производно).
  • Изберете точки, заподозрени в екстремум, тези, които принадлежат към даден сегмент и областта на функцията.
  • Изчислете стойността на функция (не производно!) В тези точки.
  • Сред получените стойности Изберете най-високото или най-ниска, тя ще се желае.

Пример 1. Намерете най-малката стойност на функцията
у = х 3 - 18x 2 + 81x + 23 в [8; 13].

Решение: действат в съответствие с алгоритъма за намиране на най-малко стойността на функцията на сегмента:

  • Домейнът на функцията не се ограничава до: D (у) = R.
  • Функцията производно е: Y '= 3x 2 - 36x + 81. домен на производно на функцията и не се ограничава до: D (у) = R.
  • Нули на производно: Y '= 3x 2 - 36x + 81 = 0, тогава х 2 - 12x + 27 = 0, където х = 3 и х = 9 в нашата интервал включва само х = 9 (една точка подозрителен на екстремум) ,
  • Намираме стойността на функцията в точката на екстремум и подозрителна по краищата на пропастта. За удобство изчислителна представлява функция под формата: Y = х 3 - 18x 2 + 81x + 23 = х (х -9) 2 23:
    • у (8) = 8 х (8-9) 2 +23 = 31;
    • у (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
    • у (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.






Така че, от най-ниската стойност, получена е 23. Отговор: 23.

II. Алгоритъмът за намиране на най-голямата или най-малката стойност на функцията:

  • Намерете областта на функцията.
  • Намерете функцията производно.
  • За да се определи точката на подозрителен екстремум (точките, в които производното става нула и точката, в която не е двустранно ограничен производно).
  • Отбележете тези точки и областта на функцията върху реалната линия и определяне на деривативни знаци (не функционира!) На получените пропуски.
  • Определяне на стойността на функция (не производно!) При минимална точки (точките, в които деривативните промени подписват от минус до плюс), най-малкият от тези стойности е най-малката стойност на функцията. Ако минималната точка не е налице, функцията не е от най-малко значение.
  • Определяне на стойността на функция (не производно!) При максимален брой точки (точките, в които деривативните промени подписват от плюс до минус), най-голямата от тези стойности е най-голямата стойност на функцията. Ако максимален брой точки не са налични, функцията не е максимална стойност.

Пример 2. Намерете най-голямата стойност на функцията:
.

Решение: ние работим в съответствие с алгоритъма за намиране на най-голямата стойност на функцията:

  • В областта на функцията определя от неравенството:
    . което се отнася и за всяко х. като съответните клонове парабола са насочени нагоре, и съответната дискриминантен отрицателен квадратичен полином: D (у) = R.
  • Производното на функцията е равна на:
    ,
    определяне кой регион също така не се ограничава, тъй като на горната причина х 2 - 6x + 10> 0 и знаменателят никога не става нула: D (у) = R.
  • Нули на производното: 2x - 6 = 0, X = 3 (една точка на подозрителен екстремум).
  • Забележка областта на функцията и условията, предполагащи крайна стойност на брой линия, определена от знака на производно в получените пропуски: х = 3 - максималната точка, защото увеличаване функция (плюс производно) се заменя със спад (нето на производни). Следователно, функцията достига максимална стойност в този момент.
  • Ние намираме тази стойност:
    .

Така че, най-голяма стойност от -1. Отговор: 1.







Предишен ◈ Следващото