Обобщени статистически методи - Банка на реферати, есета, доклади, курсови работи и

Методи на математическа статистика

Математическа статистика е наука занимаваща се с разработването на методи за получаване, описание и обработка на експериментални данни да се разгледат моделите на случайни масови явления.

В математическата статистика могат да бъдат разграничени две области: дескриптивна статистика и индуктивни статистически данни (статистически извод). Описателни статистики се занимава с натрупване, систематизиране и представяне на експериментални данни в удобен вид. Индуктивни статистиката въз основа на тези данни дава възможност да се направи някои изводи за обекта, който съдържа данните, или за изчисляване на техните параметри.

Типични области на математическата статистика:

тестване на статистически хипотези;

В основата на математическата статистика се крие поредица от основни понятия, които са необходими за изучаване на съвременни експериментални методи за обработка на данни. Броят на първия от тях може да постави концепцията за населението като цяло и на пробата.

С масовото промишленото производство често се налага без да се проверява всеки продукт, произведен за да определи дали стандартите на качеството на продукта. Тъй като броят на продуктите е много голяма, или тестване на продукти, свързани с привеждането му в неизправност, тя се проверява по-малко на брой продукти. Въз основа на този тест, вие трябва да даде становище по цялата серия продукти. Разбира се, не може да се твърди, че всички транзистори от страна на един милион. Парчета са годни или негодни, вижте един от тях. От друга страна, тъй като процесът на избор на образци за изпитване и на самия тест може да отнеме доста време и да доведат до по-високи разходи, размерът на изпитвания продукт трябва да бъде такава, че той е в състояние да даде на честно представяне на цялата партида от продукти, минимални размери. За тази цел, ще се въведе редица концепции.

Съвкупността от обектите на изследване или експериментални данни се нарича населението. Ние означаваме с N броя на обектите или броя на данни в състава на населението като цяло. Стойността N отнесени към обема на общото население. Ако N >> 1, т.е. N е много голяма, като цяло се счита N = Ґ.

Случайна проба или проба е тази част от населението, избрани на случаен принцип от него. Думата "случаен" означава, че вероятността за избор на всеки обект от същия населението като цяло. Това е важно предположение, обаче, често е трудно да се провери на практика.

Размерът на пробата е броят на предмети или количество данни, представляващи пробата, и се означава п. В това, което следва, ние приемаме, че елементите на извадката могат да бъдат определени съответно числени стойности x1, x2. хп. Например, по време на контрола на качеството се извършва чрез биполярни транзистори може да бъде измерване на коефициента на DC печалба.

2. числени характеристики на пробата

2.1 Проба средната

За даден размер проба п извадка означава, се определя от отношението

където Xi - стойност проба елементи. Обикновено се изисква, за да опише статистическите свойства на произволна случайна извадка, нито един от тях. Това означава, че математически модел, който приема достатъчно голям брой проби на обема п. В този случай, елементи на пробите се считат за случайни променливи Xi, XI приемат стойности с е плътността на вероятността (х), която е вероятността плътност на населението. След това пробата означава също случайна променлива, равна

Както и преди, ще означаваме случайните променливи в главни букви, както и стойностите на случайни величини - малки.

средната стойност на популацията, от която се произвежда проба ще се нарича общо среда и означават х. Може да се очаква, че ако размерът на извадката е от значение, а след това средната стойност на пробата няма да се различават съществено от общата авария. Тъй като средната стойност на извадката е случайна променлива, че е възможно да се намери на математическото очакване:

По този начин, очакването на средната стойност на пробата е равна на общата авария. В този случай ние казваме, че средната стойност на извадката е безпристрастен оценител на населението да кажа. В бъдеще ние ще се върнем към този термин. Тъй като средната стойност на пробата е случайна променлива колебае около средната цяло, е желателно да се оцени това колебание помощта на дисперсия на пробата означава. Да разгледаме проба, чийто обем е значително по-малко от обема п населението N (п <

Случайни променливи Xi и Xj (i№j) могат да се считат за независими, следователно,

Заместването на този резултат във формулата за дисперсията:

където s2 - разпръскването на населението.

От тази формула следва, че с увеличаване на обема на пробата колебание около средна проба среда се редуцира като общо s2 / п. Нека илюстрираме това с един пример. Да предположим, че има случаен сигнал със средна и вариацията съответно равни на х = 10, s2 = 9.

Пробите от сигнала се вземат еднакво разстояние времеви точки t1, t2.

Тъй като пробите са случайни величини, а след това ще означаваме им X (t1), X (t2). X (TN).

Определяне на броя на пробите към стандартно отклонение оценка на сигнала на готовност не превишава 1% от очаквания. Тъй като х = 10, тогава ще трябва да От друга страна, или поне така това следва, че Н и 900 проби.

Чрез извадки, че е важно да се знае не само означава проба, но и разпространението на примерни стойности около средната стойност на извадката. Ако проба средната е оценка на средното общо, дисперсия трябва да бъде селективно оценка на дисперсията на населението. вариацията Проба за проба от случайни променливи са дефинирани както следва

С помощта на тази представителство на дисперсията на извадката, ние откриваме, очакването си

По този начин ние виждаме, че това означава, че дисперсията на извадката е предубеден оценка на дисперсията на населението. За получаване на обективна оценка, е необходимо да се размножават стойността след това дисперсията на проба е дадено от

Така че ние имаме следния резултат. Ако в резултат на случайна променлива н независими измервания на X с неизвестен очакване и дисперсия от данните, трябва да определим тези параметри, трябва да използвате следните приблизителни оценки

Ако известни математически очакване на общата популация MX, дисперсията на проба трябва да се изчислява по формулата

който също е обективна оценка.

Статистическа серия. Функцията за статистическо разпределение

Да предположим, че има резултати от измерванията на случайна променлива X с неизвестен закон разпределение, които са представени в табличен вид:

Тази таблица се нарича статистическите редове. Статистическа брой е основната форма на запис статистически данни и може да се обработва по различни начини. Един такъв метод е за изграждане на статистическа обработка на случайна променлива разпределение функция H.

Статистическа (емпиричен) F * (х) разпределителната функция се нарича закон на изменение на честотата на събития X

За да разберете стойността на функцията за статистическо разпределение за даден х, че е необходимо да се преброят на експерименти, в които случайна променлива X, приети стойности по-малко от х, и се дели на общия брой на експерименти, направени. Така полученият Функцията статистическо разпределение е много груб сближаване на F (х) разпределение функция на случайна променлива X, и като такъв не се използва в практиката. Това е в известен смисъл, качествено, от които може да се предположи, случайна променлива закон X. С увеличаване на броя на експериментите (п ®Ґ) F * (х) клони към вероятността F (х). Въпреки това, с увеличаване на сграда н F * (х) става много работа отнема много време. Ето защо, на практика често е удобно да се използва статистическа мярка, която се доближава до разпределението на плътността.

Статистическа население. стълбовидна

Когато голям брой наблюдения представяне на данни под формата на статистически редове е трудно, и за решаване на редица проблеми и неподходящо. В такива случаи резултатите Брой на наблюдение, направени от групи и таблица, която определя честотната лента и получените наблюдения във всяка група. Множество групи, в които резултатите от наблюденията и честотата, получени във всяка група включват статистически агрегат, който е представен по-долу.

Графично представяне на статистическа население се нарича хистограмата. Хистограмата се конструира както следва. интервалите абсцисата ос, съответстващи на множеството групи, и всеки от тях е конструиран правоъгълник, чиято площ е равна на честотата на групата. От това следва, че изграждането областта на сумата от всички правоъгълници е равен на единица. Очевидно е, че ако хистограмата гладко свържете точка, тази крива е първо приближение до разпределението на плътността на случайна променлива X.

Ако броят на опитите да се увеличи и да изберете по-малки групи (този оборот малки интервали) в статистическия населението, в резултат на хистограмата ще бъде все по-близо до разпределението на плътността на случайна променлива X. Статистическата агрегат може да се използва и F * (х) разпределение да се изгради приблизителна функция от като случайна променлива гранични стойности на групи.

5. Методът от максималната вероятност параметър оценки за намиране разпределение плътност

Методът се основава на максималната вероятност представяне на п като обем проба п двумерен произволно количество (X1, Х2 ,. Xn), където считат за независими случайни променливи с равномерно разпределение плътност е (х). Разпределението на плътност на п двумерен случайна променлива, наречена вероятност функция L (X1, X2. Xn), което по силата на случайни променливи е продукт на разпределението на плътността на случайни променливи X1 на Х2. Xn:

L (х1, х2. Xn) = F (х1) е (х2). F (хп).

От това следва, че всяка функция Y = Y (х1, х2. Xn) примерни стойности на X1, X2. хп, наречени статистика може да се разглежда като случайна променлива чието разпространение е уникално определя от функцията за вероятност.

Помислете за начина на намиране на оценки на параметри от експериментални данни, която използва функцията за вероятност.

Нека е (х; а) - разпределението на плътността на случайна променлива X (населението), който зависи от параметър. Вероятност функция също ще зависи от параметър, и има формата

РЕЗЮМЕ метод максимална вероятност е да се намери такава стойност параметър, където вероятност функция L на (X1, X2. Xn, а) до максимум. За да направите това, трябва да се реши уравнението

и намиране на стойност, при която функцията L (x1, x2. хп, а) достига максимум. За да се опрости изчисления обикновено максимизиране на натуралния логаритъм на функцията за вероятност, като се използва факта, че

Ако неизвестните са няколко параметри, А1, А2. Ч, след това функцията за вероятност зависи от променливи M L = L (х1, х2 хп; .. А1, А2, Am) и уравнения се решават m

Пример. Нека вход получаване единица получава сумата от два сигнала: Y (т) = X + Z (т), където X - не е известно време-зависима сигнал и Z (т) - случаен смущения. пъти Т1, Т2. TN произведени стойност измерване Y (т). Въз основа на експериментални данни (извадка) y1 = у (t1), Y 2 = Y (t2). ин = у (TN) е необходимо да се намери сигнал X. приблизителна стойност

Решение. Нека Z (t1), Z (t2). Z (TN) - независими случайни променливи са нормално разпределени със средно 0 и MZ = дисперсия D (Z) = s2. Тогава случайни променливи са независими и нормално разпределени с неизвестен очакване и при същия разрез s2. Плътността на разпределение на случайната променливи Y (t1), Y (t2). Y (TN) има форма по този начин

Пишем функция вероятност за наш тримерно случайна променлива (Y1, Y2 ДУ.):

след това от уравнение