Ойлер графики
1. Да предположим, че в графиката има връх с нечетен степен. Помислете за Ойлер Обиколката на графиката. Имайте предвид, че ако то влезе в горната и на изхода от нея можем да се сведе до нивото на две (отбелязваме вече са преминали на ребрата), ако е връх не е вкъщи (това е най-доброто за цикъла). За да започнете (край) на върха, ние го намали до един градус в началото байпас цикъл Ойлер, и един в края. Следователно върхове с нечетен степен не може да бъде. Нашето предположение е невярно.
2. Ако графиката има повече от един свързан компонент на ребрата, очевидно е, че не можем да предадат своите ръбове по един.
Euler път не.
Броят на върховете на странно степен по-голяма от два.
Двата компонента са свързани, има едно ребро.
Необходимостта ние показахме преди. Нека докажем достатъчността, като се използва индукция на броя на върховете.
съществува база цикъл индукция.
Ние приемаме, че графиката като върхове съдържа по-малко Eulerian цикъл.
Помислете за един свързан граф с върхове, чиито степени са дори.
Да - върхове. От графиката е свързана, има изход за. Степен - дори и това означава, че има неизползван край на която пътеката преминава от. Като крайна сметка се, пътят, в крайна сметка, трябва да се върнем в, така че ние се получи затворен цикъл (цикъл). Ние наричаме този цикъл. Ние ще продължим да се изгради чрез един и същ начин, толкова дълго, колкото ние за пореден път не може да дойде от върха, тоест, ще обхване всички инцидента с ръбове. Ако е цикъл на Ойлер за, а след това ние сме готови. Ако не, тогава нека - подграф, получен чрез отстраняване на всички ръбове, които принадлежат. Тъй като съдържа четен брой ръбове, които са инцидент на всеки връх, връх на всеки подграф има chotnuyu степен. И тъй като обхваща всички краища инциденти, а след това на графиката ще се състои от няколко свързани компоненти.
Помислете за един свързан компонент. Тъй като този свързан компонент е по-малко от върховете и всеки връх chotnaya степен, тогава всеки свързан компонент съществува Ойлеров цикъл. Да предположим, че за разглежданите компоненти svyaznoti този цикъл. Ние имаме общ връх и като телекомуникациите. Сега можете да получите около Ойлер турне, като се започне в началото на неговата, за да се придвижва. се върне към, и след това да се върнете в него. Ако новият цикъл Ойлер не е цикъл Ойлер да продължат да използват този процес, разширяване на нашия цикъл Ойлер, докато в края на краищата, ние получаваме от цикъла на Ойлер.
В областта има Ойлер път единствено и само ако:
1. Брой на върха с нечетен степен на по-малко или равно на две.
2. Всички свързаните компоненти, с изключение може би един, не включват ребра.
Добави ръб, свързващ върховете с нечетен степен. Вече можете да намерите цикъл Ойлер, след това извадете добавената ръба. Очевидно е намерен от цикъл става.