Основните свойства на логаритмите
- Материали за урока
- Да се изтеглят всичките формули
Логаритми, както и могат да се добавят неограничен брой, изважда и по друг начин да конвертирате. Но тъй като логаритми - това не е съвсем обичайния брой, има някои правила, които се наричат основни свойства.
Тези правила определено трябва да са наясно - не може да бъде решен без никакво сериозно предизвикателство логаритмична. В допълнение, те са малко - всичко може да се научи за един ден. Да започваме.
Събиране и изваждане на логаритми
Да разгледаме две логаритъм с идентични основи: влизане на х и влизане на база. След това те могат да се събира и изважда, и:
Така, количеството на логаритми е логаритъма на продукта, и разликата - логаритъм на частното. Забележка: ключовият момент тук - на същите основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!
Тези формули ще ви помогнат да се изчисли логаритмична израз, дори когато части от него не се разглеждат (вж. Урок "Какво е логаритъм"). Обърнете внимание на примерите - и се уверете, че:
Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.
Като основа на логаритми са едни и същи, ние използваме формулата възлиза на:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 х 9) = log6 36 = 2.
Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 - log2 3.
Причини са същите, като се използва уравнението за разлика:
log2 48 - log2 3 = log2 (48. 3) = log2 16 = 4.
Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 - log3 5.
Отново, една и съща база, така че ние имаме:
log3 135 - log3 5 = log3 (135. 5) = log3 27 = 3.
Както можете да видите, първоначалните изрази са съставени от "лошите" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след реформите са получени съвсем нормално число. На този факт построени множество контролни работи. Така че контролът - подобни изрази в цялата си сериозност (понякога - с малко или никакви промени) се предлагат за изпита.
Въвеждане на логаритъма на експонентата
Сега малко усложни задачата. Какво става, ако в основата на логаритъма на аргумента, или степента на си струва? След това индикаторът на тази степен може да се приема като знак на логаритъма на следните правила:
- влизане на х п = N · влизане на х;
Лесно е да се забележи, че последният склонни да бъдат първите си две. Но това е още по-добре да се помни - в някои случаи, това значително ще намали размера на изчисление.
Разбира се, тези правила имат смисъл в съответствие с логаритъм на ТСС: а> 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: да се научат да използват всички формули, не само от ляво на дясно, но и обратно, т.е. Можете да направите номера с лице към логаритъм, влезте в себе си. Често се изисква.
Задача. Намерете стойността на израза: log7 49 6.
Отърви се от степента в аргумента на първата формула:
log7 6 = 49 · 6 = 49 log7 6 х 2 = 12
Задача. Намерете стойността на израза:
[Текст в рисунка]
Имайте предвид, че знаменател е логаритъм, основата и аргумент на които са точни сили от 16 = 2 4, 49 = 7 2. Ние имаме:
[Текст в рисунка]
Мисля, че последния пример изисква някакво обяснение. Откъде логаритмите? До последния момент ние работим само с знаменател. При условие, че основата и аргумента на логаритъм стои там под формата на градуса и прави фигури - получи "триетажна" фракция.
Сега погледнете основната фракция. Числителя и знаменателя е същия номер: 7. Тъй като log2 log2 7 ≠ 0, може да намали част - в знаменателя ще бъде 2/4. Според правилата на аритметиката, четири могат да бъдат прехвърлени в числителя, и това е било направено. Резултатът е отговор: 2.
Преходът към новата база
Да поговорим за правилата за събиране и изваждане на логаритми, аз специално подчерта, че те работят само по същите причини. Какво става, ако различни основания? Какво става, ако те не са точни правомощия на един и същи номер?
Ела на помощ на формулата на преход към новата база. Ние ги формулира под формата на теорема:
При един логаритъм влезете на х. След това за всеки в такава, че в> 0 и в ≠ 1, равенство:
[Текст в рисунка]
По-специално, ако ние се с = х. получаваме:
[Текст в рисунка]
От втората формула които могат да бъдат разменени и основата на логаритъма на аргумента, но изразът "копна", т.е. логаритъм е в знаменателя.
Тези формули са рядкост в конвенционалните числови изрази. За да се прецени дали те са подходящи, това е възможно само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.
Въпреки това, има задачи, които не могат да бъдат решени при всички, с изключение като преход към нова база. Помислете за някои от тези понятия:
Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 · log2 25.
Имайте предвид, че аргументите на двете логаритми са точни степен. Обработени показатели: log5 16 = log5 април 2 = 4log5 2; log2 25 = log2 02 Май = 2log2 5;
И сега "предаде" втори логаритъм:
[Текст в рисунка]
Поради Първообразът на факторите не променя продукт, ние сме спокойно да се размножават четири и две точки, а след това се справиха с логаритми.
Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 · 3 LG.
Базата и логаритъма на първия аргумент - точната степен. Пишем това и да се отърве от показателите:
[Текст в рисунка]
Сега ние се отърве от логаритъм, като отидете на нова база:
[Текст в рисунка]
Главна логаритмична идентичност
Често в процеса на решение се изисква да предоставят номера на логаритъм на определен база. В този случай, формулата ще ни помогне:
В първия случай, Броят п стане експонат, който се намира в аргумента. Броят п може да бъде абсолютно нищо, защото това е просто стойността на логаритъм.
Втората формула - това всъщност е перифразирано определение. Тя се нарича: основният логаритмична идентичност.
В действителност, това е, ако броят на б увеличи до такава степен, че броят на б в тази степен дава номер. Точно така: това е началото на една. Внимателно прочетете тази точка отново - много по ИТ "увисва".
Както формули преход към новата база, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.
Задача. Намерете стойността на израза:
[Текст в рисунка]
Имайте предвид, че 64 log25 = log5 8 - просто извадени от площад основата и логаритъм на аргумента. Като се имат предвид правилата на умножаване правомощия с една и съща база, получаваме:
[Текст в рисунка]
Ако някой не знае, че това е истинско предизвикателство от изпита :)
Логаритмична единица и логаритмичната нула
В заключение, Аз ще докарам двете идентичности, които са трудни за имоти име - по-скоро, това е следствие от определяне на логаритъм. Те винаги се намират в проблемите, и, изненадващо, дори и да създаде проблеми за "напреднали" студенти.
- влизане на а = 1 - е логаритмична единица. Не забравяйте веднъж завинаги по някаква причина логаритъм на по-голямата част на основата е равна на единство.
- влизане 1 = 0 - нула е логаритмична. А база може да бъде всичко, но ако аргументът е на стойност от единица - логаритъма на нула! Тъй като 0 = 1 - пряк резултат от определянето.
Ето всички имоти. Със сигурност ще се изработи ги прилагат на практика! Изтеглете мамят лист в началото на урока, отпечатайте го - и решаване на проблема.
- Безплатна Подготовка за изпита 7 прости, но много полезни уроци + домашна работа
