В скаларен продукт на два вектора
Геометрична интерпретация. В скаларен продукт на два вектора а и б е стойност скаларна равна на произведението на модулите на тези вектори, умножени по косинус на ъгъла между тях;
а · б = | а | · | б | защото α
Алгебрична тълкуване. В скаларен продукт на два вектора на А и В е скаларна равна на сумата от двойки продуктите на вектори координира и б.
Формула скаларно произведение на вектори определени координати
Формулата на скаларен продукт на векторите за проблеми равнина
В случай на скаларен продукт на вектори равнина проблем =
Формулата на скаларен продукт на вектори за пространствените задачи
В случай на скаларен продукт на пространствения проблема а =
Формула вътрешен продукт п тримерно вектори
В случай на п-тримерно пространство на скаларен продукт на векторите а = и В = може да се намери като се използва следната формула:
Свойства на скаларен продукт на вектори
В скаларен продукт на вектор с себе си е винаги по-голяма от или равна на нула:
В скаларен продукт на вектора със себе си е равна на нула, ако и само ако векторът е нула вектор:
на · а = 0 <=> а = 0
В скаларен продукт на вектор със себе си е равна на квадрата на неговото модул:
Действието на скаларно умножение комуникативно:
Ако точка продукт на два вектора не е нула е нула, а след това тези вектори са взаимно перпендикулярни:
а ≠ 0, Ь ≠ 0, а · б = 0 <=> а ┴ б
(Α а) · б = α (а · б)
Действието на скаларно умножение е разпределителен:
(А + В) · с = с · в + б · в
Примери за цели за изчисляване на скаларен продукт на векторите
Примери за изчисляване на скаларен продукт на вектори за проблеми равнина
Пример 1. Намери скаларен продукт на вектори и А = В =.
Решение: · б = 1 х 4 + 2 х 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2. Виж вътрешното произведение на вектори а и б. ако дължините им | а | = 3, | б | = 6, а ъгълът между векторите е 60˚.
Решението: а · б = | а | · | б | защото α = 3 · 6 · защото 60˚ = 9.
Пример 3. Виж скаларното произведение на вектори р = A + B 3, и р = 5 - 3 б. ако дължините им | а | = 3, | б | = 2, а ъгълът между вектори А и В е равно на 60˚.
р · р = (а + 3 б) · (5 - 3 б) = 5 а · а - 3 а · б + 15 б · а - 9 б · б =
= 5 | а | 2 + 12, а · б - 9 | б | 2 5 = 3 · 2 + 3 · 12 · 2 · защото 60˚ - 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.
Пример за изчисляване на скаларен продукт на вектори за пространствени проблеми
Пример 4. Намери скаларен продукт на вектори и А = В =.
Решение: · б = 1 х 4 + 2 + 8 · (5) · 1 + 4 = 16-5 = 15.
Пример за изчисляване на скаларен продукт за п тримерно вектори
Пример 5. Намери скаларен продукт на вектори и А = В =.
Решение: · б = 1 х 4 + 2 + 8 · (5) · 2 · 1 + (-2) = 4 + 16-5 = 11 -4.